Question

平面直角坐標(biāo)系中，A（0，6），C（21，0），AB∥OC，AB=15，動(dòng)點(diǎn)P由O沿OA、AB向B以2單位長(zhǎng)/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q由C開(kāi)始沿CO邊向O以1單位/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）填空：當(dāng)t=

 

s時(shí)，四邊形PBCQ為平行四邊形；
（2）四邊形PBCQ為直角梯形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）四邊形PBCQ能為等腰梯形嗎？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．若不能，說(shuō)明理由．
（4）設(shè)△OPQ的面積為S，直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并注明t的范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)四邊形PBCQ為平行四邊形時(shí)，即PB=QC，可列式t=15-（t-3）×2，解得t的值即可，
（2）若四邊形PBCQ為直角梯形時(shí)，P和Q的橫坐標(biāo)相等，可列式21-t=（t-3）×2，解得t的值即可，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可，
（3）假若四邊形PBCQ能為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)P與B分別作PM⊥OC于M，作BN⊥OC于N，則四邊形OABN是矩形，
由矩形的性質(zhì)可知，ON=AB=15，CN=OC-ON=21-15=6，QM=CN=6，故可得出t的值，求出點(diǎn)P與Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與t的值相比較即可；
（4）經(jīng)過(guò)時(shí)間t＜3后P點(diǎn)坐標(biāo)為（2t-6，6），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，21-t），經(jīng)過(guò)時(shí)間3≤t≤

21

2

后P點(diǎn)坐標(biāo)為（2t-6，6），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，21-t），根據(jù)三角形面積公式即可寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）動(dòng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)OA需要3s時(shí)間，當(dāng)四邊形PBCQ為平行四邊形時(shí)，
即PB=QC，
即t=15-（t-3）×2，
解得t=7s；

（2）若四邊形PBCQ為直角梯形時(shí)，
P和Q的橫坐標(biāo)相等，
即21-t=（t-3）×2，
解得t=9s；
故AP=12，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（12，6）；

（3）假若四邊形PBCQ能為等腰梯形，
過(guò)點(diǎn)P與B分別作PM⊥OC于M，作BN⊥OC于N，
∴四邊形OABN是矩形，
∴ON=AB=15，
∴CN=OC-ON=21-15=6，
∴QM=CN=6，
∴21-2t+6×2=t，
解得：t=11；
點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為21÷2=10.5＜11，點(diǎn)Q到O點(diǎn)需21s，
∴點(diǎn)P與Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為10.5s，
∴四邊形PBCQ不能為等腰梯形；

（4）經(jīng)過(guò)時(shí)間t后P點(diǎn)坐標(biāo)為（2t-6，6），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，21-t），
即當(dāng)0＜t＜3時(shí)，△OPQ的面積為S=

1

2

×（21-t）×2t=21t-t²（0＜t＜3）
當(dāng)3≤t≤

21

2

時(shí)△OPQ的面積為S=

1

2

×（21-t）×6=63-3t（3≤t≤

21

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，此題難度不大，但是解答此題需要很強(qiáng)的綜合知識(shí)能力．