Question

如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（-8，0），點N的坐標為（-6，-4）．
（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應點為A，點N的對應點為B，點H的對應點為C）；
（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；
（3）試設計一種平移使（2）中的拋物線經過四邊形ABCO的對角線交點；
（4）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分別在線段CO，OA，AB上，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況？若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于直角梯形OMNH繞點O旋轉180°后得到圖形OABC，因此梯形OMNH和梯形OABC是中心對稱圖形，且對稱中心為原點O，所以點A、B、C與點M、N、H關于原點對稱，即可求出點A、B、C的坐標；
（2）已知了拋物線圖象上A、B、C三點的坐標，可利用待定系數法求出該拋物線的解析式；
（3）可先求出直線OB、AC的解析式，聯立兩條直線的解析式即可求得它們的交點坐標；若使（2）所得拋物線經過此交點，那么平移方法有很多種，以該拋物線頂點經過此交點為例，首先將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到其頂點坐標，然后分別求出這兩點橫、縱坐標的差，根據“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律來確定平移方案即可；
（4）過B作BM⊥x軸于M，易求得MC、BM、BC的值，即可得到表示出EM的長，然后分別表示出BE²、EF²、GF²、BG²的值，由于不確定四邊形BEFG的哪兩條鄰邊相等，因此分：①BG=GF，②BE=BG，③BE=EF，④GF=EF；四種情況進行討論，根據各自的等量關系，列出不同的關于m的方程求出m的值．

解答：解：（1）利用中心對稱性質，畫出梯形OABC．
∵A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）；

（2）設過A，B，C三點的拋物線關系式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點A（0，4），
∴c=4．則拋物線關系式為y=ax²+bx+4．
將B（6，4），C（8，0）兩點坐標代入關系式，得

36a+6b+4=4 64a+8b+4=0

解得

a=- 1 4 b= 3 2

所求拋物線關系式為：y=-

1

4

x2+

3

2

x+4；（2分）

（3）由y=-

1

4

x2+

3

2

x+4得，它的頂點是（3，

25

4

）
又直線OB的解析式是y=

2

3

x，直線AC的解析式是y=-

1

2

x+4，
兩直線的交點是（

24

7

，

16

7

）；
故

24

7

-3=

3

7

，

16

7

-

25

4

=-

111

28

；
所以，只要把拋物線y=-

1

4

x2+

3

2

x+4向右平移

3

7

，向下平移

111

28

個單位就能使頂點過梯形ABCO的對角線交點；

（4）OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．
過B作BM⊥x軸于M，則：BM=OA=4，MC=OC-AB=2；
∴EM=m-2或2-m，
即ME²=（m-2）²；
在Rt△BEM中，BM=4，ME²=（m-2）²；
根據勾股定理得：BE²=BM²+ME²=m²-4m+20；
同理：EF²=2m²-16m+64，GF²=2m²-8m+16，
而BG=6-m，
即BG²=m²-12m+36；則：
①GB=GF，則GB²=GF²，得：
m²-12m+36=2m²-8m+16，即m²+4m-20=0，
解得m=-2±2

6

（負值舍去）；
故當m=-2+2

6

時，GB=GF，
②BE=BG，則BE²=BG²，得：
m²-4m+20=m²-12m+36，
解得m=2；
故當m=2時，BE=BG．
③BE=EF，則BE²=EF²，
得：m²-4m+20=2m²-16m+64，
即m²-12m+44=0，
此方程無解，
故此種情況不成立．
④GF=EF，則GF²=EF²，
得：2m²-8m+16=2m²-16m+64，
解得m=6，
此時BG=6-m=0，構不成四邊形BEFG，故此種情況不成立．
綜上所述，當m=-2+2

6

時，GB=GF，當m=2時，BE=BG．

點評：此題考查了中心對稱圖形的性質、二次函數解析式的確定、函數圖象的平移、勾股定理的應用等知識．要注意的（4）題，由于四邊形的相等鄰邊沒有明確告知，需要分類討論，以免漏解．