Question

（2013•金山區(qū)一模）已知拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）．
（1）寫出拋物線的解析式．
（2）當(dāng)y≤-1時，x的取值范圍．
（3）在頂點(diǎn)與x軸的兩交點(diǎn)的圖象中，是否存在著一個以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內(nèi)，請結(jié)合圖象給于說明．（草圖）

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式為y=ax²+3，然后點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，從而得解；
（2）令y=-1，求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性寫出x的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線在第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)P₁（x₁，y₁），根據(jù)拋物線解析式用y₁表示出x₁²，再寫出圓心在原點(diǎn)半徑為3的圓的解析式，消掉x得到關(guān)于y、y₁的關(guān)系式，整理后根據(jù)x的取值范圍求出y＞y₁，從而得到不存在一個以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內(nèi)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，3），
∴設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式為y=ax²+3，
把點(diǎn)A（3，0）代入得，9a+3=0，
解得a=-

1

3

．
所以，拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+3；

（2）當(dāng)y=-1時，-

1

3

x²+3=-1，
整理得，x²=12，
解得x₁=-2

3

，x₂=2

3

，
所以，y≤-1時，x的取值范圍是x≤-2

3

或x≥2

3

；

（3）如圖所示，設(shè)拋物線在第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與圓上的點(diǎn)P（x，y）重合，
令x₁=x（0＜x₁＜3），
由y₁=-

1

3

x₁²+3得，x₁²=9-y₁，
由圓x²+y²=3²得，x²=9-y²，
∴9-y²=9-y₁，
y=

3y1

=

3

y1

•y₁，
∵0＜y₁＜3，
∴y＞y₁，
即OP＞OP₁，
∴除拋物線與y正半軸和x軸的交點(diǎn)在圓上外，其余部分都不存在著一個以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內(nèi)．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的增減性，以及二次函數(shù)與圓的關(guān)系，（3）求出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于拋物線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．