Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點(-1,0)、(3,0)，與軸的正半軸交于點，頂點為.

【小題1】求拋物線解析式及頂點的坐標；
【小題2】如圖，過點E作BC平行線，交軸于點F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：             ．
【小題3】將拋物線向下平移，與軸交于點M、N，與軸的正半軸交于點P，頂點為Q.在四邊形MNQP中滿足S_△NPQ = S_△MNP，求此時直線PN的解析式

Answer 1

【小題1】將(-1,0)、(3,0)代入的得到，，
∴拋物線的解析式為，即.
∴ 拋物線頂點的坐標為（1，4）．-------------------------3分
【小題2】△BCF與△BCE               -------------------------1分
【小題3】將拋物線向下平移，則頂點Q在對稱軸上，有，------1分
∴ 拋物線的解析式為（）．
∴ 此時，拋物線與軸的交點為，頂點為．
∵ 方程的兩個根為，，
∴ 此時，拋物線與軸的交點為，．
如圖，過點Q作QG∥PN與軸交于點G，連接NG，則S_△PNG= S_△PNQ．
∵ S_△NPQ = S_△MNP,
∴S_△MNP = S_△PNG．              -------------------------1分

∴ ．
設對稱軸與軸交于點，
則．
由QG∥PN，得．
∴ Rt△QDG ∽ Rt△PON．有．
∴ ．結(jié)合題意，解得 ．
∴ 點，．
設直線PN的解析式為y=mx+n，將P， N兩點代入，得到
直線PN的解析式為 ； --------3分

解析