Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O₁與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CD∥AB交⊙O₁于D，若過點(diǎn)C的直線恰好平分四邊形ABCD的面積，求出該直線的解析式；
（3）如圖，已知M（1，-2

3

），經(jīng)過A、M兩點(diǎn)有一動圓⊙O₂，過O₂作O₂E⊥O₁M于E，若經(jīng)過點(diǎn)A有一條直線y=kx+b（k＞0）交⊙O₂于F，使AF=2O₂E，求出k、b的值．

Answer 1

分析：（1）易得△O₁AC為等邊三角形，可求出OC的長．
（2）利用等腰梯形可化為一個矩形和兩個直角三角形，只要平分矩形的面積即可，易找到平分線，用待定系數(shù)法求其解析式．
（3）從AF=2O₂E找到突破口，過M點(diǎn)作直徑和弦，通過坐標(biāo)的特點(diǎn)證出∠FAO=60°，從而求出AF的解析式．

解答：解：（1）∵A（-1，0），O₁（1，0），
∴OA=OO₁又O₁A=O₁C，（1分）
∴易知△O₁AC為等邊三角形，（2分）
∴易求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

）．（4分）

（2）解法一：連接AD；
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD又AC不平行BD，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，（5分）
過D作DH⊥AB于H；
∴△AOC≌△BDH，四邊形COHD為矩形，（6分）
∴CH必平分四邊形ABCD的面積，（7分）
易求CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

；（8分）
解法二：設(shè)直線CH平分四邊形ABCD的面積，并設(shè)H（x，0），連接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD=2，
∵S_△ACH=S_梯形CDBH，
∴

1

2

3

(x+1)=

1

2

3

[2+(3-x)]，
∴x+1=5-x，
∴x=2，由C（0，

3

）和H（2，0），
易求CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

．

（3）證法一：分別延長MO₁，MO₂交⊙O₂于P，N，連接PN；
∴PN=2O₂E，（9分）
連接MA，MF，AN；
∵A（-1，0），M（1，-2

3

），
∴∠MAO₁=60°，∠AMO₁=30°，
∴∠NAO₁=30°，
∵AF=2O₂E=PN，
∴∠FMA=∠PMN，
∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO₁=30°，
∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°，（10分）
∴∠FAO₁=60°，（11分）
∴易求AF的解析式為y=

3

x+

3

，
∴k=

3

，b=

3

．（12分）

點(diǎn)評：求直線的解析式必須找到它上面兩個點(diǎn)的坐標(biāo)．記住垂徑定理及其推論．同時(shí)要充分利用特殊角在幾何證明中的作用．