Question

如圖，拋物線與x軸相交于點A（-4，0），B（-2，0），直線AC過拋物線上的點C（-1，3）．
（1）求此拋物線和直線AC的解析式；
（2）設拋物線的頂點是D，直線AC與拋物線的對稱軸相交于點E，點F是直線DE上的一個動點，求FB+FC的最小值；
（3）若點P在直線AC上，問在平面上是否存在點Q，使得以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設交點式y(tǒng)=a（x+4）（x+2）．
（2）點B的關于直線DE對稱點是點A，連AC交DE，交點就是F點．
（3）首先要分類，若AB為對角線，利用菱形對角線相互垂直平分，若AB為邊，四邊都等于2．

解答：解：（1）設該拋物線的解析式是y=a（x+4）（x+2）
把C（-1，3）代入得，
a=1．
∴該拋物線的解析式是y=x²+6x+8
設直線AC的解析式是y=kx+b
把A（-4，0），C（-1，3）代入得，

-4k+b=0 -k+b=3

解得

k=1 b=4

∴直線AC的解析式是y=x+4（4分）

（2）∵點A、B關于直線DE對稱，
∴FB=FA（6分）
∴FB+FC=FA+FC
當點F與點E重合時，F(xiàn)B+FC最小，最小值是3

2

（8分）

（3）當AB為菱形的對角線時，
菱形的另外兩個頂點在線段AB的中垂線上，
而點P又在直線AC上，
∴點P的坐標是P（-3，1）
∴Q₁（-3，-1）（9分）
當AB為菱形的一邊時，
①當AP=2時，點P是以A為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點．
∴點P的坐標是(

2

-4，

2

)或(-

2

-4，-

2

)
∴Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)（11分）
②當BP=2時，點P是以B為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點．
∴點P的坐標是（-2，2）
∴Q₄（-4，2）
∴在平面上存在點Q₁（-3，-1），Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)，Q₄（-4，2），使得以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形．（12分）

點評：①合理選擇拋物線的解析式．②求直線上一點到直線外同旁兩點的距離之和最小的問題要轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短來解決．③此類問題要分類討論，利用圖形的幾何性質(zhì)解決．