Question

如圖所示，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一點O，使OB＝OC，以O為圓心，OB為半徑作圓，過C作CD∥AB交⊙O于點D，連接BD。

（1）猜想AC與⊙O的位置關系，并證明你的猜想；

（2）試判斷四邊形BOCD的形狀，并證明你的判斷；

（3）已知AC＝6，求扇形OBC圍成的圓錐的底面圓半徑。

 

 

Answer 1

（1）相切 （2）四邊形BOCD是菱形 （3）∴底面圓半徑

【解析】

試題分析：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的判定方法和圓錐的計算．（1）根據等腰三角形的性質得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根據切線的判定定理即可得到，AC是⊙O的切線；

（2）連結OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根據三角形外角性質得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判斷△OCD為等邊三角形，則CD=OB=OC，先可判斷四邊形OBDC為平行四邊形，加上OB=OC，于是可判斷四邊形BOCD為菱形；（3）在Rt△AOC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到

OC= ∴弧BC的弧長= 然后根據圓錐的計算求圓錐的底面圓半徑．

試題解析（1）AC與⊙O相切

，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°。

，∠CBO＝∠BCO＝30°，

∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴AC與⊙O相切。

（2）四邊形BOCD是菱形

連接OD。

∵CD∥AB，

∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°

，

∴△COD是等邊三角形，

，

∴四邊形BOCD是平行四邊形，

∴四邊形BOCD是菱形。

（3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6，

ACtan∠A＝6tan30°＝，

∴弧BC的弧長

∴底面圓半徑

考點：切線的判定；菱形的判定；圓錐的計算．