Question

已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交外角∠DCA的平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線得出∠OFC=∠DCF，根據(jù)角平分線定義得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形判定得出四邊形是平行四邊形，求出∠FCE=90°，根據(jù)矩形判定推出即可．

解答：（1）證明：∵FC平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵M(jìn)N∥BD，
∴∠OFC=∠DCF，
∴∠OFC=∠ACF，
∴OF=OC，
同理OE=OC，
∴OE=OF．

（2）當(dāng)O為AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
證明：∵O為AC中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠ACD，CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCF=

1

2

∠ACD，∠ACE=∠BCE=

1

2

∠ACB，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=

1

2

∠ACD+

1

2

∠ACB=

1

2

×180°=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形判定，平行四邊形判定，平行線性質(zhì)，角平分線定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．