Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以1個單位長度的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作PD∥BC，交A于點(diǎn)D，連接PQ．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t ≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示QB、PD、BD的長度：QB﹦ ；PD﹦ ；BD﹦ ．

（2）當(dāng)t取何值時，若四邊形PDBQ是平行四邊形？

（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動），使四邊形PDBQ在某一時刻成為菱形，求點(diǎn)Q的速度；

（4）如圖2，以C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．在整個運(yùn)動過程中，線段PQ的中點(diǎn)M（x，y）會在一個固定的函數(shù)圖像上運(yùn)動．則

①該函數(shù)解析式為 ；②自變量x的取值范圍是 ；③點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長等于 ．

Answer 1

【答案】（1）QB；PD；BD；（2）；（3）不存在，證明見解析； Q點(diǎn)速度為每秒個單位長度；（4）①；②；③6．

【解析】

（1）可用t表示出CQ、AP的長，由三角函數(shù)可得PD，AD的長，易得答案；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得QB=DP，列方程求出t即可；

（3）當(dāng)t=3時，求出BD=6≠DP，故不存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形，設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個單位長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到PD＝BD＝BQ，列方程求解即可；

（4）分析題意可知：點(diǎn)M的運(yùn)動路徑為一條線段，從AC中點(diǎn)運(yùn)動到BC中點(diǎn)，用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式并得到x的取值范圍，由三角形中位線定理可求出M所經(jīng)過的路徑長.

解：（1）∵∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，

∴BC=，AB=12，

∴QB，

∵tanA=，

∴DP，AD=2t，

∴BD；

（2）若四邊形PDBQ是平行四邊形，則有QB=DP，

即，

解得：t=3；

（3）不存在；

證明：t=3時，四邊形PDBQ是平行四邊形，

此時BD=6≠DP，

∴不存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形，

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個單位長度，

則BQ＝vt，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD＝BD＝BQ，

當(dāng)PD＝BD時，即，

解得：t＝，

當(dāng)PD＝BQ，t＝時，即，

解得：v＝

∴當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個單位長度時，在某一時刻可以使四邊形PDBQ是菱形；

（4）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，M是PQ的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的運(yùn)動路徑為一條線段，從AC中點(diǎn)運(yùn)動到BC中點(diǎn)，

①設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，

將AC中點(diǎn)(3,0)，BC中點(diǎn)()代入解析式可得：，

解得：，

∴該函數(shù)解析式為；

②由題意可知：自變量x的取值范圍是：；

③點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.