Question

【題目】如圖，平面內(nèi)的直線有相交和平行兩種位置關系．

(1)如圖(a)，已知AB∥CD，求證：∠BPD=∠B+∠D．

(2)如圖(b)，已知AB∥CD，求證：∠BOD=∠P+∠D．

(3)根據(jù)圖(c)，試判斷∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) ∠BOD=∠P+∠D； (3) ∠BPD=∠B+∠BQD+∠D，理由見解析

【解析】

（1）過點P作PE∥AB，由平行線的性質“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE，結合角之間的關系即可得出結論；

（2）過點P作PE∥CD，根據(jù)平行線的性質即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE，結合角之間的關系即可得出結論；

（3）數(shù)量關系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．過點P作PE∥CD，過點B作BF∥PE，由平行線的性質得出“∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，∠D=∠DPE”，再根據(jù)角之間的關系即可得出結論．

（1）證明：過點P作PE∥AB，如圖1所示．

∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）

∴AB∥PE∥CD．（在同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線互相平行）

∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D．（等量代換）

（2）證明：過點P作PE∥CD，如圖2所示．

∵PE∥CD，（輔助線）

∴∠BOD=∠BPE，（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DPE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D，（等量代換）

即∠BOD=∠P+∠D．（等量代換）

（3）解：數(shù)量關系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．

理由如下：

過點P作PE∥CD，過點B作BF∥PE，如圖3所示．

則BF∥PE∥CD，

∴∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

∠D=∠DPE，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠FBA=∠FBP+∠B，

∴∠BPE=∠BQD+∠B，

∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D．（等量代換）