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        1. 如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),連結(jié)AB,BD,BC分別相交于點(diǎn)E,P,F(xiàn),且∠BPF=60°
          (1)寫出圖中所有與△BPF相似的三角形,并選擇其中一對(duì)給予證明;
          (2)探究:當(dāng)BD什么條件時(shí)(其它條件不變),PF=
          12
          PE?請(qǐng)寫出探究結(jié)果,并說(shuō)明理由.(說(shuō)明:結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母)
          分析:(1)△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD這兩組三角形都可由一個(gè)公共角和一組60°角來(lái)證得.
          (2)先看PF=
          1
          2
          PE能得出什么結(jié)論.根據(jù)△BPF∽△EBF,可得BF2=PF•EF=3PF2,因此BF=
          3
          PF,且∠BPF=60°,∵∠PFB=90°,∴∠PBF=90-60=30°,因此當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),PF=
          1
          2
          PE.
          解答:(1)答:△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD.
          以△BPF∽△EBF為例,
          證明:∵∠BPF=∠EBF=60°,∠BFP=∠BFE,
          ∴△BPF∽△EBF;

          (2)答:BD平分∠ABC時(shí),PF=
          1
          2
          PE.
          證明:∵BD平分∠ABC,
          ∴∠ABP=∠PBF=30°.
          ∵∠BPF=60°,
          ∴∠BFP=90°.
          ∴PF=
          1
          2
          PB.
          又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP,
          ∴BP=EP,
          ∴PF=
          1
          2
          PE.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          16、如圖,在等邊△ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D,作∠ADE=60°,DE交∠C的外角平分線于E,則△ADE是
          等邊
          三角形.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),E為AC邊上一點(diǎn),且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,則△ABC的面積為( 。
          A、81
          3
          B、
          81
          3
          2
          C、
          81
          3
          4
          D、
          81
          3
          8

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          21、如圖,在等邊△ABC中,AD是∠BAC的平分線,點(diǎn)E在AC邊上,且∠EDC=15°.
          (1)試說(shuō)明直線AD是線段BC的垂直平分線;
          (2)△ADE是什么三角形?說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,在等邊△ABC中,D是AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE=CD,AB=10cm.
          (1)求BE的長(zhǎng);
          (2)△BDE是什么三角形,為什么?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,在等邊△ABC中,BF是高,D是BF上一點(diǎn),且OF=AF,作OE⊥BF,垂足為D,且OE=OB,連AE、AO、BE,求證:
          (1)AB=AE;
          (2)AE⊥BC; 
          (3)AO⊥BE.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案