Question

【題目】如圖，AB 為⊙O 的直徑，點(diǎn) C 為⊙O 上一點(diǎn)，AD 和過(guò)點(diǎn) C 的切線相互垂直，垂足為 D．

(1)求證：AC 平分∠DAB；

(2)AD 交⊙O 于點(diǎn) E，若 AD＝3CD＝9，求 AE 的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析：（2）8.

【解析】

(1) 連接OC,根據(jù)AB為⊙0的直徑, CD為⊙0的的切線可得AD//OC, 根據(jù)兩直線平行, 內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CAD＝∠ACO,即可由∠OAC＝∠ACO得到∠CAD＝∠OAC, 即可得證AC平分∠DAB.

(2) 連接CE, 易證得△CDE∽△ADC，可得＝，即 ＝， 解得，DE＝1，可得AE的長(zhǎng).

證明：（1）連接 OC，

∵CD 是⊙ O 的切線，

∴OC⊥CD，又 AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠CAD＝∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠OAC，即 AC 平分∠DAB；

（2）連接 EC，

由弦切角定理得，∠CAD＝∠ECD，又∠ADC＝∠CDE＝90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴＝，即 ＝， 解得，DE＝1，

∴AE＝8．