Question

如圖1，已知點(diǎn)A（0，4

3

）x軸正半軸上，且∠ABO=30°，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒

3

個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在x軸上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值；
（3）如圖2，如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上，從點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合這一過程中，設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)知道OA的長(zhǎng)度，在直角三角形中根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB，根據(jù)勾股定理求出OB，從而求出B的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）由（1）已經(jīng)求出AB的長(zhǎng)，可以表示出BP的長(zhǎng)，題目也告訴了∠ABO的度數(shù)，利用三角函數(shù)值就可以表示出MP長(zhǎng)度，當(dāng)M到達(dá)O點(diǎn)利用30°的直角三角形的特殊關(guān)系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，從而求出時(shí)間t．
（3）當(dāng)點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)D也是重合的，這時(shí)以PM是否過點(diǎn)E為分點(diǎn)分別計(jì)算重合部分的面積．將重合部分的面積用含t的式子表示出來就可以了．

解答：解：（1）∵A（0，4

3

）
∴OA=4

3

，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=

OA

OB

，即tan30°=

4 3

OB

=

3

3

，
∴BO=12，
∴B（12，0）
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，由題意得：

b=4 3 12k+b=0

，
解得：

b=4 3 k=- 3 3

，
故直線AB的解析式為：y=-

3

3

x+4

3

；

（2）∵△PMN為等邊三角形，
∴∠PMO=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠PMO+∠ABO=90°，
∴∠MPB=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2AO=8

3

，
∴BP=AB-AP=8

3

-

3

t，
在Rt△MPB中，∠MPB=90°，tan∠ABO=

MP

BP

，
即tan30°=

MP

8 3 - 3 t

=

3

3

，
∴MP=8-t，
當(dāng)M與O重合時(shí)，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°，
∴MP=

1

2

OB=6，即8-t=6，
∴t=2；

（3）M與O點(diǎn)重合時(shí)PM=MN=6，此時(shí)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合，如圖2，
當(dāng)PM過點(diǎn)E時(shí)，∠PMB=60°，∠MBA=30°，
∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠AEP=30°，
∴AP=

1

2

AE=

3

，
此時(shí)t=1；
當(dāng)0≤t≤1時(shí)，設(shè)PN交EC于F，過F作FG⊥OB于G，F(xiàn)G=OE=2

3

，
∵∠PNM=60°，
∴GN=

FG

tan60°

=2，
∵PM=8-t，
∴BM=2PM=16-2t，
∴MO=BM-BO=4-2t，ON=MN-MO=t+4，EF=OG=ON-GN=t+2，
∴S=

1

2

×2

3

×（t+2+t+4）
=2

3

t+6

3

，
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，設(shè)PM、PN交EC于H、F，S=S_梯形EONF-S_△EHI．
由（2）知：MO=4-2t，IO=

3

MO=4

3

-2

3

t，
∴EI=EO-IO=2

3

t-2

3

，EH=

3

3

EI=2t-2，
∴S_△EHI=

1

2

×（2t-2）×（2

3

t-2

3

）=2

3

t²-4

3

t+2

3

，
∴S=2

3

t+6

3

-2

3

t²+4

3

t-2

3

=-2

3

t²+6

3

t+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)的運(yùn)用以及圖形的面積公式，數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．