Question

（2012•奉賢區(qū)二模）已知：半圓O的半徑OA=4，P是OA延長線上一點(diǎn)，過線段OP的中點(diǎn)B作垂線交⊙O于點(diǎn)C，射線PC交⊙O于點(diǎn)D，連接OD．
（1）若

AC

=

CD

，求弦CD的長．
（2）若點(diǎn)C在

AD

上時(shí)，設(shè)PA=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)CD的中點(diǎn)為E，射線BE與射線OD交于點(diǎn)F，當(dāng)DF=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠P的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

AC

=

CD

，得出∠DOC=∠AOC，進(jìn)而求出PC=OC，以及△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）作OE⊥CD，求出△PBC∽△PEO，進(jìn)而得出

PB

PE

=

PC

OP

，即可求出y與x的關(guān)系式；
（3）分別利用若點(diǎn)D在

AC

外部時(shí)，以及利用若點(diǎn)D在

AC

上時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan∠P的值即可．

解答：解：（1）連接OC，如圖1，
∵

AC

=

CD

，
∴∠DOC=∠AOC，
又∵BC垂直平分OP，
∴PC=OC，
而OA=4，
∴CP=OC=4，
∴∠P=∠POC，
∴∠CPO=∠COD，
而∠PDO=∠ODC，
∴△DOC∽△DPO，
∴DC：OD=OD：DP，即OD²=DC•DP，
∴DC（DC+4）=16，
∴CD=2

5

-2；

（2）作OE⊥CD，垂足為E，如圖1，
則CE=

1

2

CD=

1

2

y，
∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，
∴△PBC∽△PEO，
∴

PB

PE

=

PC

OP

，
而PB=

1

2

OP=

1

2

（x+4），PE=PC+CE=4+

1

2

y，
∴

x+4 2

4+ y 2

=

4

x+4

，
∴y=

1

4

x²+2x-4（4

2

-4＜x＜4）；

（3）若點(diǎn)D在

AC

外部時(shí)，
連接OC和OE．
顯然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO，
∴∠CPB=∠COB=x（不妨設(shè)其大小為x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性質(zhì)定理），
同時(shí)，PC=OC=R=4，
∵CE=DE（已知）
∴由垂徑定理可知：OE⊥CD，
在△Rt△OEC和Rt△OED中，
∵

EO=EO CO=DO CE=ED

，
∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS）
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同時(shí)，由銳角三角函數(shù)定義，
在Rt△OPE中．
tan∠APD=

OE

PE

，
∵∠CBO=∠CEO=90°，
∴四點(diǎn)B，C，E，O四點(diǎn)共圓，
∴由同圓中，同弧上的圓周角相等可知
∠BEC=∠BOC=x，
∴∠DEF=∠BEC（對(duì)頂角相等）=∠BOC=x．
在△DEF中，由三角形外角性質(zhì)定理，
∠ODC=∠F+∠DEF，
∴2x=∠F+x，
∴∠F=x．
∴△DEF為等腰三角形，
CE=DE=DF=1．
∴PE=PC+CE=4+1=5，
在Rt△ODE中，DE=1，OD=R=4，
∴由勾股定理可得OE=

15

，
∴tan∠P=

OE

PE

=

15

5

，
若點(diǎn)D在

AC

上時(shí)，
同理可知 CE=DE=DF=1，PC=OC=r=4，
故PE=3，OE=

15

，
則tan∠P=

OE

PE

=

15

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和四點(diǎn)共圓以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．