Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）連接AE，若AB=6cm，BC= cm．
①求sin∠EAD的值；
②若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OP，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形．

∴OD=OB=OC=OA，

∵△EDC和△ODC關(guān)于CD對(duì)稱，

∴DE=DO，CE=CO，

∴DE=EC=CO=OD，

∴四邊形CODE是菱形．

（2）

解：①設(shè)AE交CD于K．

∵四邊形CODE是菱形，

∴DE∥AC，DE=OC=OA，

∴ = =

∵AB=CD=6，

∴DK=2，CK=4，

在Rt△ADK中，AK= = =3，

∴sin∠DAE= = ，

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE= AP，

∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= + =OP+ AP=OP+PF，

∴當(dāng)O、P、F共線時(shí)，OP+PF的值最小，此時(shí)OF是△ACD的中位線，

∴OF= CD=3．AF= AD= ，PF= DK=1，

∴AP= = ，

∴當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，AP的長(zhǎng)為 ，點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間為3s．

【解析】（1）只要證明四邊相等即可證明；（2）①設(shè)AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出 = = ，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，AK= = =3，根據(jù)sin∠DAE= 計(jì)算即可解決問(wèn)題；②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE= AP，因?yàn)辄c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= + =OP+ AP=OP+PF，所以當(dāng)O、P、F共線時(shí)，OP+PF的值最小，此時(shí)OF是△ACD的中位線，由此即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等才能正確解答此題．