Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B。
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動時(shí)，線段AB的長度也在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；
（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，O，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）線段AB長度的最小值為4， 理由如下： 連接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中點(diǎn)C，則AB=2OC； 當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短， 即AB最短，此時(shí)AB=4； （2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q， 如圖①，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形； ∵∠APO=90°， ∴四邊形APOQ為矩形， 又∵OP=OQ， ∴四邊形APOQ為正方形， ∴OQ=QA，∠QOA=45°； 在Rt△OQA中，根據(jù)OQ=2，∠AOQ=45°， 得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）； 如圖②，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形； ∵OQ∥PA，∠APO=90°， ∴∠POQ=90°， 又∵OP=OQ， ∴∠PQO=45°， ∵PQ∥OA， ∴PQ⊥y軸； 設(shè)PQ⊥y軸于點(diǎn)H， 在Rt△OHQ中，根據(jù)OQ=2，∠BQO=45°， 得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）， ∴符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）或（-，）。