Question

【題目】將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（ ，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)O（0，0）

（1）過邊OB上的動點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，O重合）作DE丄OB交AB于點(diǎn)E，沿著DE折疊該紙片，點(diǎn)B落在射線BO上的點(diǎn)F處．
①如圖，當(dāng)D為OB中點(diǎn)時，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接AF，當(dāng)△AEF為直角三角形時，求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）P是AB邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），將△AOP沿OP所在的直線折疊，得到△A′OP，連接BA′，當(dāng)BA′取得最小值時，求P點(diǎn)坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵DE⊥OB，OA⊥OB，

∴DE∥OA．

∵D為OB中點(diǎn)，

∴DE為△BOA的中位線，

∴點(diǎn)E為線段A、B的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ， ）．

②由折疊可知：△BDE≌△FDE，

∴∠EFB=∠ABO=30°，DF=BD，

∴∠AEF=∠ABO+∠BFE=60°≠90°．

∵△AEF是直角三角形，

∴∠AFE=90°或∠EAF=90°．

（i）當(dāng)∠AFE=90°時，如圖1所示．

∠AFO=180°﹣∠AFE﹣∠EFB=60°．

在Rt△AOF中，∠AFO=60°，AO= ，

∴∠FAO=30°，AF=2OF，

∵ =AO，

∴OF=1，AF=2．

在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF=BD= =1，

∴EF=2DE，

∵ =DF=1，

∴DE= ，DF= ．

∵OD=OF+DF=2．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，2）；

（ii）當(dāng)∠EAF=90°時，如圖2所示．

∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴∠BAO=60°，

∴∠FAO=∠EAF﹣∠BAO=30°．

在Rt△AOF中，∠FAO=30°，AO= ，

∴AF=2OF，

∵ =AO，

∴OF=1，AF=2．

在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF= =2，

∴EF=2DE，

∵ =DF，

∴DE= ．

∵OD=DF﹣OF=1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，1）．

綜上所述：當(dāng)△AEF為直角三角形時，E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2）或（ ，1）

（2）解：由折疊可知：△AOP≌△A′OP，

∴OA′=OA= ，∠AOP=∠A′OP，

又∵OB=3，

∴當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時，BA′取最小值，如圖3所示．

∵∠AOB=90°，

∴∠AOP=45°，

∴直線OP的解析式為y=x．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

將A（ ，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，

，解得： ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+3．

聯(lián)立直線OP、AB的解析式成方程組，

，解得： ，

∴當(dāng)BA′取得最小值時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）①由D為OB中點(diǎn)結(jié)合DE∥OA，可得出DE為△BOA的中位線，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合角的計算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°兩種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，找出當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時，BA′取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出直線OP的解析式，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等，以及對相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．