Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是∠AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）。

（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PC總與PD相等；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過(guò)O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長(zhǎng)；
（4）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對(duì)稱中心，是否存在點(diǎn)P，使∠CPN=90°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn) ∴OD=2， ∴OD=OC 又∵OP是∠COD的角平分線， ∴∠POC=∠POD=45°， ∴△POC≌△POD， ∴PC=PD。 （2）過(guò)點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求 易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF， ∵△PBF是等腰直角三角形， ∴PM=BF=1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3） ∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， ∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx 又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，3）和點(diǎn)D（2，0）， ∴有 解得 ∴拋物線的解析式為。 （3）由等腰直角三角形的對(duì)稱性知D點(diǎn)關(guān)于∠AOC的平分線的對(duì)稱點(diǎn)即為C點(diǎn) 連接EC，它與∠AOC的平分線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)（因?yàn)镻E+PD=EC，而兩點(diǎn)之間線段最短）， 此時(shí)△PED的周長(zhǎng)最小 ∵拋物線y=x2-2x的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)（1，-1），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2）， 設(shè)CE所在直線的解析式為y=kx+b 則有 解得 ∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2 點(diǎn)P滿足 解得 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為 △PED的周長(zhǎng)即是。 （4）存在點(diǎn)P，使∠CPN=90度，其坐標(biāo)是或。