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        1. 如圖,△ABC中,AC=BC=4
          2
          ,∠C=90°,D是AB中點.動點E從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D至A勻速運動,到點A時停止;另一動點F也從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D至B勻速運動,點E停止時,點F也隨即停止,以EF為邊作正方形EFGH,使正方形EFGH和點C在直線AB的同側(cè);記點E的運動時間為t(秒),對應的正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S.
          (1)求正方形EFGH的邊GH經(jīng)過點C時的t值;
          (2)請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出對應的自變量的取值范圍;
          (3)在點E的運動過程中,是否存在這樣的t值,使得△AFH為等腰三角形?若存在,求出對應的t值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)連接CD,先根據(jù)勾股定理列式求出AB,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),CD⊥AB且CD=
          1
          2
          AB,再表示出EF,然后根據(jù)正方形的邊長與CD相等列式求解即可;
          (2)根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比求出G、H在△ABC邊上的t值,然后分正方形EFGH在△ABC內(nèi)部,GH過點C前,GH過點C后三種情況分別列式整理即可得解;
          (3)表示出AE、EF,再根據(jù)正方形的對角線等于邊長的
          2
          倍表示出FH,利用勾股定理列式表示出AH,然后分AF=FH,AH=FH,AF=AH三種情況列出方程求解即可.
          解答:解:(1)如圖,連接CD,∵AC=BC=4
          2
          ,∠C=90°,
          ∴AB=
          AC2+BC2
          =
          (4
          2
          )
          2
          +(4
          2
          )
          2
          =8,
          ∵D是AB中點,
          ∴CD⊥AB,CD=AD=BD=
          1
          2
          AB=
          1
          2
          ×8=4,
          ∵動點E、F的速度都是每秒1個單位長度,
          ∴正方形EFGH的邊長EF=t+t=2t,
          當正方形EFGH的邊GH經(jīng)過點C時,CD=EF,
          ∴2t=4,
          解得t=2;

          (2)如圖,G、H在△ABC邊上時,∵GH∥AB,
          ∴△ABC∽△HGC,
          HG
          AB
          =
          CD-HE
          CD

          2t
          8
          =
          4-2t
          4

          解得t=
          4
          3
          ,
          E到達點A時,t=AD÷1=4÷1=4,
          所以,分三種情況討論:
          ①0≤t≤
          4
          3
          時,如圖1,正方形EFGH在△ABC內(nèi)部,
          此時,重疊部分為正方形EFGH的面積,S=(2t)2=4t2;
          4
          3
          <t≤2時,如圖2,重疊部分為正方形EFGH的面積減去兩個等腰直角三角形的面積,
          設(shè)EH與AC相交于M,
          ∵DE=t,
          ∴ME=AE=AD-DE=4-t,
          ∴MH=2t-(4-t)=3t-4,
          ∴S=(2t)2-2×
          1
          2
          (3t-4)2=-5t2+24t-16;
          ③2<t≤4時,如圖3,重疊部分為△ABC的面積減去兩個小等腰直角三角形的面積,
          AE=AD-DE=4-t,
          S=
          1
          2
          ×4
          2
          ×4
          2
          -2×
          1
          2
          ×(4-t)2,
          =-t2+8t,
          綜上所述,S=
          4t2(0≤t≤
          4
          3
          )
          -5t2+24t-16(
          4
          3
          <t≤2)
          -t2+8t(2<t≤4)
          ;

          (3)∵動點E、F的速度都是每秒1個單位長度,
          ∴DE=DF=t,
          ∴AE=4-t,EF=2t,
          ∴FH=
          2
          EF=2
          2
          t,
          AF=AD+DF=4+t,
          AH=
          AE2+EH2
          =
          (4-t)2+(2t)2
          =
          5t2-8t+16
          ,
          ∵△AFH為等腰三角形,
          ∴①AF=FH時,4+t=2
          2
          t,
          解得t=
          4
          2
          2
          -1
          =
          8
          2
          +4
          7
          ,
          ②AH=FH時,
          5t2-8t+16
          =2
          2
          t,
          解得t=
          4
          3
          ,t=-4(舍去),
          ③AF=AH時,4+t=
          5t2-8t+16

          解得t=4,t=0(舍去),
          綜上所述,t的值為
          8
          2
          +4
          7
          秒,
          4
          3
          秒,4秒時,△AFH為等腰三角形.
          點評:本題考查了相似形綜合題型,主要利用了等腰直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形對應高的比等于相似比,(2)(3)兩個小題,需要分情況討論是本題的難點.
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