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        1. 如圖,△ABC中,AC=BC=4
          2
          ,∠C=90°,D是AB中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D至A勻速運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A時(shí)停止;另一動(dòng)點(diǎn)F也從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D至B勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E停止時(shí),點(diǎn)F也隨即停止,以EF為邊作正方形EFGH,使正方形EFGH和點(diǎn)C在直線AB的同側(cè);記點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),對(duì)應(yīng)的正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S.
          (1)求正方形EFGH的邊GH經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)的t值;
          (2)請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍;
          (3)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的t值,使得△AFH為等腰三角形?若存在,求出對(duì)應(yīng)的t值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)連接CD,先根據(jù)勾股定理列式求出AB,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),CD⊥AB且CD=
          1
          2
          AB,再表示出EF,然后根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)與CD相等列式求解即可;
          (2)根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比求出G、H在△ABC邊上的t值,然后分正方形EFGH在△ABC內(nèi)部,GH過點(diǎn)C前,GH過點(diǎn)C后三種情況分別列式整理即可得解;
          (3)表示出AE、EF,再根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的
          2
          倍表示出FH,利用勾股定理列式表示出AH,然后分AF=FH,AH=FH,AF=AH三種情況列出方程求解即可.
          解答:解:(1)如圖,連接CD,∵AC=BC=4
          2
          ,∠C=90°,
          ∴AB=
          AC2+BC2
          =
          (4
          2
          )
          2
          +(4
          2
          )
          2
          =8,
          ∵D是AB中點(diǎn),
          ∴CD⊥AB,CD=AD=BD=
          1
          2
          AB=
          1
          2
          ×8=4,
          ∵動(dòng)點(diǎn)E、F的速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,
          ∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)EF=t+t=2t,
          當(dāng)正方形EFGH的邊GH經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),CD=EF,
          ∴2t=4,
          解得t=2;

          (2)如圖,G、H在△ABC邊上時(shí),∵GH∥AB,
          ∴△ABC∽△HGC,
          HG
          AB
          =
          CD-HE
          CD
          ,
          2t
          8
          =
          4-2t
          4
          ,
          解得t=
          4
          3
          ,
          E到達(dá)點(diǎn)A時(shí),t=AD÷1=4÷1=4,
          所以,分三種情況討論:
          ①0≤t≤
          4
          3
          時(shí),如圖1,正方形EFGH在△ABC內(nèi)部,
          此時(shí),重疊部分為正方形EFGH的面積,S=(2t)2=4t2
          4
          3
          <t≤2時(shí),如圖2,重疊部分為正方形EFGH的面積減去兩個(gè)等腰直角三角形的面積,
          設(shè)EH與AC相交于M,
          ∵DE=t,
          ∴ME=AE=AD-DE=4-t,
          ∴MH=2t-(4-t)=3t-4,
          ∴S=(2t)2-2×
          1
          2
          (3t-4)2=-5t2+24t-16;
          ③2<t≤4時(shí),如圖3,重疊部分為△ABC的面積減去兩個(gè)小等腰直角三角形的面積,
          AE=AD-DE=4-t,
          S=
          1
          2
          ×4
          2
          ×4
          2
          -2×
          1
          2
          ×(4-t)2
          =-t2+8t,
          綜上所述,S=
          4t2(0≤t≤
          4
          3
          )
          -5t2+24t-16(
          4
          3
          <t≤2)
          -t2+8t(2<t≤4)
          ;

          (3)∵動(dòng)點(diǎn)E、F的速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,
          ∴DE=DF=t,
          ∴AE=4-t,EF=2t,
          ∴FH=
          2
          EF=2
          2
          t,
          AF=AD+DF=4+t,
          AH=
          AE2+EH2
          =
          (4-t)2+(2t)2
          =
          5t2-8t+16
          ,
          ∵△AFH為等腰三角形,
          ∴①AF=FH時(shí),4+t=2
          2
          t,
          解得t=
          4
          2
          2
          -1
          =
          8
          2
          +4
          7

          ②AH=FH時(shí),
          5t2-8t+16
          =2
          2
          t,
          解得t=
          4
          3
          ,t=-4(舍去),
          ③AF=AH時(shí),4+t=
          5t2-8t+16
          ,
          解得t=4,t=0(舍去),
          綜上所述,t的值為
          8
          2
          +4
          7
          秒,
          4
          3
          秒,4秒時(shí),△AFH為等腰三角形.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了相似形綜合題型,主要利用了等腰直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比,(2)(3)兩個(gè)小題,需要分情況討論是本題的難點(diǎn).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          26、已知:如圖,△ABC中,點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上,CE是∠DCB的角平分線,且CE∥AB.
          求證:∠A=∠B.

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          27、已知:如圖,△ABC中,∠BAC=60°,D、E兩點(diǎn)在直線BC上,連接AD、AE.
          求:∠1+∠2+∠3+∠4.

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          27、如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,DN⊥AC于N,DM⊥AB于M
          求證:∠ANM=∠B.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          14、如圖,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,則∠C的大小是( 。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知,如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,且∠1=∠C,∠2=2∠3,∠BAC=70°.
          (1)求∠2的度數(shù);
          (2)若畫∠DAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E,則AE與BC有什么位置關(guān)系,請(qǐng)說明理由.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案