Question

已知拋物線y=ax²-2ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，6），并與X軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，滿足∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)直線AC交y軸于S，直線CP交y軸于T，若點(diǎn)M為OT上一動(dòng)點(diǎn)，過M點(diǎn)作MN⊥y軸交SC延長(zhǎng)成于N，在CT的延長(zhǎng)線上截取TQ=SN，連接NQ交y軸于R，下面有兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)R的長(zhǎng)度不變；②為定值．上述結(jié)論有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選擇你認(rèn)為正確的結(jié)論度證明求值．

Answer 1

解：（1）把A（-3，6）和B（-1，0）代入y=ax²-2ax+b得，9a+6a+b=6，a+2a+b=0，解得a=，b=-，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-；

（2）作AH⊥x軸與H，PG⊥x軸于G，如圖，

對(duì)于y=x²-x-，令y=0，x²-x-=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
∵y=x²-x-=（x-1）²-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
∴△AHC和△PGC都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠PCD=45°，AC=AH=6，PC=PG=2，
∵∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，
∴DC：BC=PC：AC，即DC：4=2：6，
∴DC=，
∴OD=OC-DC=3-=，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

（3）①M(fèi)R的長(zhǎng)度不變是正確的．理由如下：
設(shè)OM=t，
∵∠SCB=∠BCP=45°，
∴BS=BC=3，∠TCS=90°，
∴△TSC、△SMN、△TQE都為等腰直角三角形，
∴ST=SC=BC=6，MN=MS=3+t，
∴OT=3，MT=3-t，
又∵TQ=SN，
∴Rt△TQE≌Rt△SNM，
∴QE=MN=3+t，
∴RM=RE，TE=QE=3+t，
∴ME=MT+TE=3-t+3+t=6，
∴MR=ME=3，即MR的長(zhǎng)度不變；
而RT=MR-MT=3-（3-t）=t，
∴=，即隨t的變化而變化．
分析：（1）把A（-3，6）和B（-1，0）代入y=ax²-2ax+b得關(guān)于a和b的方程組，解方程組即可；
（2）先求出A點(diǎn)、C點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)，通過坐標(biāo)特點(diǎn)得到△AHC和△PGC都是等腰直角三角形，則∠ACB=∠PCD=45°，AC=AH=6，PC=PG=2，滿足∠DPC=∠BAC，則△DPC∽△BAC，利用相似比計(jì)算出CD，在計(jì)算出OD，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)OM=t，由（2）易得△TSC、△SMN、△TQE都為等腰直角三角形，ST=SC=BC=6，MN=MS=3+t，得OT=3，MT=3-t；易證Rt△TQE≌Rt△SNM，得到QE=MN=3+t，則RM=RE，TE=QE=3+t，可求出ME=MT+TE=3-t+3+t=6，從而得到MR=ME=3，即MR的長(zhǎng)度不變．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定：把拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式確定字母的值即可．也考查了利用坐標(biāo)表示線段、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等和相似的判定與性質(zhì)．