Question

（2013•孝南區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△CED≌△CFD；
（2）若AB=2a，問當(dāng)CD為多少時(shí)，四邊形CEDF為正方形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由CD垂直平分線AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可證得△ACD≌△BCD（ASA）；
（2）因?yàn)橛腥齻�(gè)角是直角，且鄰邊相等的四邊形是正方形．所以當(dāng)CD=

1

2

AB=a時(shí)，四邊形CEDF為正方形．

解答：（1）證明：∵CD垂直平分線AB，
∴AC=CB．
∵點(diǎn)C為線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)
∴AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC與△DFC中，

∠ACD=∠BCD CD=CD ∠EDC=∠FDC

，
∴△DEC≌△DFC（ASA）；

（2）解：當(dāng)CD=

1

2

AB=a時(shí)，四邊形CEDF為正方形．
理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=

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2

AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四邊形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四邊形ECFD是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定等知識(shí)點(diǎn)．