Question

20．在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BP于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)Q．

（1）如圖1，當(dāng)P在線段AC上時(shí)，求證：BP=AQ；
（2）如圖2，當(dāng)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？成立（填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠DBA=22.5°度時(shí)，存在AQ=2BD，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠DAP=∠CBP，進(jìn)而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)BA交PQ于H，由于∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，得到∠CAQ=∠DBQ，推出△AQC≌△BPC（ASA）即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)∠DBA=22.5°時(shí)，存在AQ=2BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BP=2BD，通過(guò)△PBC≌△ACQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中$\left\{\begin{array}{l}{∠QCA=∠P∠CB}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠CBP}\end{array}\right.$
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）成立，
理由：延長(zhǎng)BA交PQ于H，
∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACQ=∠BCP}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠BCP}\end{array}\right.$
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴AQ=BP，
故答案為：成立；
（3）當(dāng)∠DBA=22.5°時(shí)，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC與△QAC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AQC}\\{BC=AC}\\{∠PCB=∠ACQ}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案為：22.5°

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)題意得出全等三角形是解題關(guān)鍵．