Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l： 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N，高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移，在平移過(guò)程中，得到△A1B1C1，當(dāng)點(diǎn)B1與原點(diǎn)重合時(shí)，解答下列問(wèn)題：

（1）求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A1是否在直線l上；

（2）求出邊A1C1所在直線的解析式；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使得以P、A1、C1、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A1（，3），在直線上；（2）；（3）P1（，3），P2（，﹣3），P3（﹣，3）．

【解析】試題分析：

(1) 根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線AD，在Rt△A1DB1中利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求得線段A1D和B1D的長(zhǎng)，進(jìn)而寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo). 將點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)代入直線l的解析式，求得相應(yīng)的縱坐標(biāo)，通過(guò)對(duì)比求得的縱坐標(biāo)和點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)可以判斷點(diǎn)A1與直線l的位置關(guān)系.

(2) 根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)容易得到點(diǎn)C1的坐標(biāo). 利用點(diǎn)A1和點(diǎn)C1的坐標(biāo)，結(jié)合一次函數(shù)的一般形式，可以獲得關(guān)于待定系數(shù)的方程，求解這些方程進(jìn)而可以寫出邊A1C1所在直線的解析式.

(3) 由于利用△A1C1M的三個(gè)內(nèi)角均可以構(gòu)造出符合題意的平行四邊形，所以本小題應(yīng)對(duì)這三種情況分別進(jìn)行討論. 根據(jù)題意畫(huà)出各種情況的示意圖. 當(dāng)以∠A1C1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造平行四邊形時(shí)，可以過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線AE，利用Rt△A1B1E中的幾何關(guān)系求得線段A1E和B1E的長(zhǎng). 利用點(diǎn)M的坐標(biāo)和等邊三角形的邊長(zhǎng)可以得到線段C1M的長(zhǎng)，進(jìn)而獲得線段A1P的長(zhǎng)，從而可以寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)以∠A1MC1為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造平行四邊形時(shí)，利用Rt△A1B1F中的幾何關(guān)系和線段C1M的長(zhǎng)，可以求得線段A1F和B1F的長(zhǎng)，進(jìn)而寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)以∠C1A1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造平行四邊形時(shí)，可以過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PG，利用平行四邊形的性質(zhì)獲得線段PM的長(zhǎng)，利用Rt△PGM中的幾何關(guān)系和線段B1M的長(zhǎng)，可以求得線段PG和OG的長(zhǎng)，進(jìn)而寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

(1)

如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1D⊥OM，垂足為D.

∵△A1B1C1是等邊三角形，A1D⊥OM，

∴∠B1A1D=30°，

∴在Rt△A1DB1中， ，

∵A1D=3，

∴在Rt△A1DB1中， ，

∴， .

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(, 3).

由直線l的解析式，得

當(dāng)x=時(shí)， ，

∴點(diǎn)A1在直線l上.

(2) ∵△A1B1C1是等邊三角形， ，

∴.

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(, 0).

設(shè)直線A1C1的解析式為y=kx+b (k≠0).

將點(diǎn)A1 (, 3)，點(diǎn)C1 (, 0)的坐標(biāo)分別代入直線A1C1的解析式，得

，

解之，得

，

∴直線A1C1的解析式為.

(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3)，(, 3)或(, -3). 求解過(guò)程如下.

根據(jù)題意，分別對(duì)下面三種情況進(jìn)行討論.

①若以∠A1C1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角，則所求平行四邊形為平行四邊形A1C1MP.

如圖①，過(guò)點(diǎn)A1作A1E⊥ON，垂足為E.

由直線l的解析式，得

當(dāng)y=0時(shí)， ，

∴x=.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(, 0).

∴OM=.

∵，

∴，

∴.

∵△A1B1C1是等邊三角形，

∴∠A1B1C1=60°，

∴∠A1B1E=90°-∠A1B1C1=90°-60°=30°.

∴在Rt△A1EB1中， ， .

∵A1P∥C1M，A1E⊥ON，

∴點(diǎn)E，A1，P在同一條直線上，

∴.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3).

②若以∠A1MC1為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角，則所求平行四邊形為平行四邊形PC1MA1.

∵A1P∥C1M，

∴A1F⊥ON，

∴在Rt△A1FB1中， ， .

∵，

∴.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3).

③若以∠C1A1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角，則所求平行四邊形為平行四邊形A1C1PM.

如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OM，垂足為G.

∵△A1B1C1是等邊三角形，

∴∠A1C1B1=60°，

∴∠A1C1M=180°-∠A1C1B1=180°-60°=120°，

∵A1C1∥PM，

∴∠PMC1=∠A1C1M=120°，

∴∠PMG=180°-∠PMC1=180°-120°=60°，

∴在Rt△PMG中，∠MPG=90°-∠PMG=90°-60°=30°.

∵，

∴在Rt△PGM中， ，

.

∵OM=，

∴.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, -3).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3)，(, 3)或(, -3).