Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動點(diǎn)，設(shè)DQ=t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N，過Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，過M作MF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；
（2）順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而證得；
（2）分為兩種情況：①當(dāng)E在AP上時，由點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面積S，由t范圍得到S的最小值；②當(dāng)E在BP上時，同法可求S的最小值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，
∵QE⊥AB，MF⊥BC，
∴∠AEQ=∠MFB=90°，
∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形，
∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，
又∵PQ⊥MN，
∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠EQP=∠FMN，
又∵∠QEP=∠MFN=90°，
∴△PEQ≌△NFM；

（2）解：分為兩種情況：①當(dāng)E在AP上時，
∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，AB=2，DQ=AE=t，
∴PA=1，PE=1-t，QE=2，
由勾股定理，得PQ=

QE2+PE2

=

(1-t)2+4

，
∵△PEQ≌△NFM，
∴MN=PQ=

(1-t)2+4

，
又∵PQ⊥MN，
∴S=

1

2

PQ•MN=

1

2

[(1-t)2+4]=

1

2

t²-t+

5

2

，
∵0≤t≤2，
∴當(dāng)t=1時，S_最小值=2．
②當(dāng)E在BP上時，
∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，AB=2，DQ=AE=t，
∴PA=1，PE=t-1，QE=2，
由勾股定理，得PQ=

QE2+PE2

=

(t-1)2+4

，
∵△PEQ≌△NFM，
∴MN=PQ=

(t-1)2+4

，
又∵PQ⊥MN，
∴S=

1

2

PQ•MN=

1

2

[（t-1）²+4]=

1

2

t²-t+

5

2

，
∵0≤t≤2，
∴當(dāng)t=1時，S_最小值=2．
綜上：S=

1

2

t²-t+

5

2

，S的最小值為2．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，（1）由四邊形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而證得；（2）由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面積S，由t范圍得到答案．