Question

已知關于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k為常數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設x₁，x₂為方程的兩個實數(shù)根，且x₁+2x₂=14，試求出方程的兩個實數(shù)根和k的值．

Answer 1

分析：（1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明判別式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以得到兩根的和是6，結合x₁+2x₂=14即可求得方程的兩個實根，進而可求k的值．

解答：（1）證明：∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-k²）=36+4k²＞0（2分）
因此方程有兩個不相等的實數(shù)根．（3分）

（2）解：∵x₁+x₂=-

b

a

=-

-6

1

=6，（4分）
又∵x₁+2x₂=14，
解方程組

x1+x2=6 x1+2x2=14

解得：

x1=-2 x2=8.

（5分）
將x₁=-2代入原方程得：（-2）²-6×（-2）-k²=0，（6分）
解得k=±4．（7分）

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，與x₁+2x₂=14聯(lián)立即可把求方程的解的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題．