Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．
（1）如圖（1）連接AF、CE，判斷四邊形AFCE的形狀并說明理由，再求AF的長；
（2）如圖（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、E兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒5cm的速度沿A→F→B→A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒→4cm沿E→C→D→E勻速運(yùn)動(dòng)一周，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)另一點(diǎn)也中止運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求AF的長；
（2）分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；

解答：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，

∠CAD=∠ACB ∠AEF=∠CFE OA=OC

，
∴OE=OF（AAS）．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形．
設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得
16+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5

（2）由作圖可以知道，P點(diǎn)AF上時(shí)，Q點(diǎn)CD上，此時(shí)A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)AB上時(shí)，Q點(diǎn)DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．
∴只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，
∴PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=

4

3

．
∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=

4

3

秒．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)分析清楚動(dòng)點(diǎn)在不同的位置所構(gòu)成的圖形的形狀是解答本題的關(guān)鍵．