Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕為PQ．過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于點(diǎn)F,連接BF

（1）若AP： BP=1：2，則AE的長(zhǎng)為 ．

（2）求證：四邊形BFEP為菱形；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P，Q分別在邊AB、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

【答案】(1) cm，(2)證明見解析；(3)2cm；

【解析】

(1) 先根據(jù)AB=3cm，AP： BP=1：2，計(jì)算出AP、BP的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理即可求得AE的長(zhǎng)度；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，進(jìn)而得到PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，根據(jù)平行的性質(zhì)再證明BP=BF=EF=EP即可得到答案；

(3) 找到E點(diǎn)離A最近和最遠(yuǎn)的兩種情況，運(yùn)用矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離；

解：(1)∵AB=3cm，

若AP： BP=1：2，則AP= ，BP=，

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：PE=PB=2cm，

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴ ,

即：，

∴，即：，

故AE的長(zhǎng)為：cm；

(2)∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱．
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠EPF=∠EFP（等量替換），
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP（四邊相等的四邊形是菱形），
∴四邊形BFEP為菱形；

(3)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，
∴CE=BC=5cm，

在Rt△CDE中，

∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此時(shí)AE=1cm；
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，如圖3所示，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)．

此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm．
∴點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm．