Question

幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′P+PB=A′B，
由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．
模型應(yīng)用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動點(diǎn)．則PB+PE的最小值是

 

；
（2）如圖2，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．（要求畫出示意圖，寫出解題過程）

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，所以連接DE，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時PB+PE=DE最小，而DE是直角△ADB的斜邊，由勾股定理可求出結(jié)果；
（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA、OB對稱點(diǎn)分別為M、N，當(dāng)點(diǎn)R、Q在MN上時，△PQR周長為PR+RQ+QP=MN，此時周長最�。�

解答：解：（1）連接DE，與交于點(diǎn)P．
∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，
∴DP=BP，
∴PB+PE=PD+PE=DE，
∵在直角△ADE中，∠DAE=90°，AD=2，AE=1，
∴DE=

5

．

（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．
由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=

OM2+ON2

=10

2

．
即△PQR周長的最小值等于10

2

．

點(diǎn)評：靈活運(yùn)用對稱性解決最短距離問題．