Question

1到100中，與100互質(zhì)的所有自然數(shù)之和是多少？（配對）

Answer 1

分析：因為100=2×2×5×5，所以1到100中，與100互質(zhì)的所有自然數(shù)應(yīng)是除5的倍數(shù)之外的所有奇數(shù)，因此根據(jù)高斯求和公式求出1～100的所有奇數(shù)之和之后，再減去1～100所有5的倍數(shù)的和即是1到100中，與100互質(zhì)的所有自然數(shù)之和．

解答：解：因為100=2×2×5×5，所以1到100中，與100互質(zhì)的所有自然數(shù)應(yīng)是除5的倍數(shù)之外的所有奇數(shù)；
從1到99的連續(xù)奇數(shù)（包括5的倍數(shù)）一共有50個，這50個連續(xù)奇數(shù)的和是：
 1+3+5+7+…+93+95+97+99
=（1+99）×50÷2，
=2500．
100以內(nèi)的奇數(shù)中，5的倍數(shù)有5的1倍、3倍、5倍…17倍、19倍，共10個數(shù)，這十個數(shù)的各是：
5×（1+3+5+…+17+19）
=5×（1+19）×10÷2，
=500；
所以，符合條件的各個數(shù)的和是：2500-500=2000．
答：1到100中，與100互質(zhì)的所有自然數(shù)之和是2000．

點評：本題考查了約數(shù)與倍數(shù)將100分解質(zhì)因數(shù)得出1到100中，與100互質(zhì)的所有自然數(shù)應(yīng)是除5的倍數(shù)之外的所有奇數(shù)是完成本題的關(guān)鍵．