Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．

(1)求證：四邊形OCED是菱形．

(2)當(dāng)∠ACB=30°，菱形OCED的面積為，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AC=4．

【解析】

（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD，即可判定四邊形OCED是菱形．

（2）因?yàn)椤?/span>ACB=30°可證明菱形的一條對(duì)角線和邊長(zhǎng)相等，可證明和對(duì)角線構(gòu)成等邊三角形，然后作輔助線，根據(jù)菱形的面積已知可求解．

（1）解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四邊形CODE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC，

∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：∵∠ACB=30°，

∴∠DCO=90°-30°=60°．

又∵OD=OC，

∴△OCD是等邊三角形．

過(guò)D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設(shè)CF=x，則OC=2x，AC=4x．

在Rt△DFC中，tan60°=，

∴DF=x．

∴OCDF=2．

∴x=1．

∴AC=1×4=4．