Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CFED．設(shè)FC與AB交于點(diǎn)H，且A（0，4），C（6，0）．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，△CBD的形狀是

 

；
（2）當(dāng)AH=HC時(shí)，①求點(diǎn)H的坐標(biāo)；②求直線FC的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得兩個(gè)條件：①BC=DC，②∠BCD=∠α=60°，顯然所求的三角形是個(gè)等邊三角形．
（2）當(dāng)AH=HC時(shí)，可設(shè)出AH的長(zhǎng)，然后表示出CH、BH的值，從而在Rt△CHB中利用勾股定理求得AH的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法可求得直線CF（即直線CH）的解析式．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：BC=CD，∠BCD=∠ACF=α；
若α=60°，則∠BCD=60°，故△BCD是等邊三角形．

（2）設(shè)AH=HC=x，則：BH=6-x；
在Rt△CHB中，由勾股定理得：（6-x）²+4²=x²，
解得：x=

13

3

；
即AH=HC=

13

3

；
①點(diǎn)H的坐標(biāo)為（

13

3

，4）．
②設(shè)直線CF的解析式為：y=kx+b，則有：

6k+b=0 13 3 k+b=4

，解得

k=- 12 5 b= 72 5

；
故直線CF的解析式為：y=-

12

5

x+

72

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題較簡(jiǎn)單，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、等邊三角形的判定、勾股定理以及用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式的方法，難度不大．