Question

如果一條拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為這條拋物線(xiàn)的“拋物線(xiàn)三角形”，[a，b，c]稱(chēng)為“拋物線(xiàn)三角形系數(shù)”．
（1）若拋物線(xiàn)三角形系數(shù)為[-1，b，0]的“拋物線(xiàn)三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（2）若△OAB是“拋物線(xiàn)三角形”，其中點(diǎn)B為頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)三角形系數(shù)為[-2，2m，0]，其中m＞0；且四邊形ABCD是以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形，求出過(guò)O、C、D三個(gè)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）把拋物線(xiàn)三角形系數(shù)代入拋物線(xiàn)，令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊上的高線(xiàn)等于斜邊的一半列出方程求解即可得到b的值；
（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等可得OA=OB，再根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得OB=AB，從而判定△AOB是等邊三角形，然后拋物線(xiàn)三角形系數(shù)代入拋物線(xiàn)，令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)然后根據(jù)等邊三角形的高等于邊長(zhǎng)的

3

2

列出方程求出m的值，從而得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出C、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)三角形系數(shù)為[-1，b，0]，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+bx=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

b

2

，

b2

4

），
令y=0，則-x²+bx=0，
解得x₁=0，x₂=b，
∴與x軸的交點(diǎn)為（0，0），（b，0），
∵“拋物線(xiàn)三角形”是等腰直角三角形，
∴

b2

4

=

1

2

|b|，
∴b²=2b或b²=-2b，
∵b=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），
∴b=0不符合題意，
∴b=2或b=-2，
故b的值為2或-2；

（2）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，OB=AB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∵拋物線(xiàn)三角形系數(shù)為[-2，2m，0]，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-2x²+2mx=-2（x-

m

2

）²+

m2

2

，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

m

2

，

m2

2

），
令y=0，則-2x²+2mx=0，
解得x₁=0，x₂=m，
∴與x軸的交點(diǎn)為（0，0），（m，0），
∴AO=m，
∴

m2

2

=

3

2

m，
解得m=

3

，
∴點(diǎn)A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），
∵四邊形ABCD是以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形，
∴點(diǎn)C（-

3

，0），D（-

3

2

，-

3

2

），
設(shè)過(guò)O、C、D三個(gè)點(diǎn)的拋物線(xiàn)為y=ax²+bx（a≠0），
則

3a- 3 b=0 3 4 a- 3 2 b=- 3 2

，
解得

a=2 b=2 3

，
所以，過(guò)O、C、D三個(gè)點(diǎn)的拋物線(xiàn)為y=2x²+2

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，讀懂題目信息，理解“拋物線(xiàn)三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．