Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是

等腰

三角形；
（2）若拋物線拋物線m：y=a（x-2）²+b（ab＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，請(qǐng)求出a，b滿足的關(guān)系式；
（3）如圖，△OAB是拋物線n：y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性進(jìn)行判斷；
（2）由于拋物線三角形是等腰三角形，則得到本題中的“物線三角形”是等腰直角三角形，再確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，b），拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)=2

- b a

，如何根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到|b|=

1

2

×2

- b a

，然后化簡(jiǎn)即可得到a與b的關(guān)系；
（3）作AH⊥OB于H點(diǎn)，先得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（b′，0），A點(diǎn)坐標(biāo)為（

b′

2

，

b′2

4

），再根據(jù)矩形的性質(zhì)可判△OAB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AH=

3

2

OB，即

b′2

4

=

3

2

b′，解得b′=2

3

，則可確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)中心的性質(zhì)可確定C點(diǎn)與D點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴“拋物線三角形”是等腰三角形；
故答案為等腰；

（2）∵y=a（x-2）²+b（ab＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，
∴此“物線三角形”是等腰直角三角形，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，b），
把y=0代入y=a（x-2）²+b得a（x-2）²+b=0，解得x=2±

- b a

，
∴拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2+

- b a

，0），（2-

- b a

，0），
∴拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）與x軸兩交點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)=2

- b a

，
∴|b|=

1

2

×2

- b a

，
∴b²=-

b

a

，
∴ab=-1；

（3）存在．作AH⊥OB于H點(diǎn)，如圖，
把y=0代入y=-x²+b′x得-x²+b′x=0，解得x₁=0，x₂=b′，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（b′，0），
∵y=-x²+b′x=-（x-

b′

2

）²+

b′2

4

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

b′

2

，

b′2

4

），
∵矩形ABCD以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AH=

3

2

OB，
∴

b′2

4

=

3

2

b′，解得b′=2

3

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0）
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，-3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，0），
設(shè)過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax（x+2

3

），
把C（-

3

，-3）代入得a•（-

3

）（-

3

+2

3

）=-3，
解得a=1，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=x（x+2

3

）=x²+2

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定幾何圖形的性質(zhì)和確定點(diǎn)的坐標(biāo)；會(huì)運(yùn)用等腰直角三角形、等邊三角形和矩形的性質(zhì)建立等量關(guān)系，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題．