Question

如圖，?ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求直線CD的解析式；
（2）是否存在x軸上的點E，使得以A、O、E為頂點的三角形與△DAO相似？若存在，請寫出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
解得：x=3或x=4，
∵OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴點A（0，4），點B（-3，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴點C（3，0），點D（6，4），
設直線CD的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
故直線CD的解析式為：y=x-4；

（2）存在．
∵點E在x軸上，
∴∠AOE=90°，
∵△DAO中，∠DAO=90°，
∴∠AOE=∠DAO，
當OA：AD=OE：OA時，△OAE∽△ADO，
∴，
解得：OE=，
∴點E的坐標為：（，0）或（-，0）；
當OA：OA=OE：AD時，△OAE∽△AOD，
∴，
解得：OE=6，
∴點E的坐標為：（6，0）或（-6，0）；
∴符合條件的點E的坐標為：（，0），（-，0），（6，0）或（-6，0）．
分析：（1）由OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB，即可求得OA與OB的長，又由?ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，可求得點D的坐標，繼而求得點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式；
（2）由在x軸上的點E，使得以A、O、E為頂點的三角形與△DAO相似，可得∠AOE=∠OAD=90°，然后由相似三角形的性質(zhì)，即可求得符合條件的點E的坐標．
點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．