Question

如圖，直角坐標系中，已知兩點O（0，0），A（2，0），點B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D．
（1）求B，C兩點的坐標；
（2）求直線CD的函數(shù)解析式；
（3）設E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的兩個動點，且EF平分四邊形ABCD的周長．試探究：△AEF的最大面積．

Answer 1

分析：（1）作BG⊥OA于G，連接AC．利用等邊三角形的性質可知：OG=1，BG=

3

，所以B（1，

3

）．根據直角三角形中的三角函數(shù)值可計算得OC=OAtan30°=

2 3

3

．所以C（0，

2 3

3

）．
（2）根據切線的性質求得OD=OCtan30°=

2

3

．即D(-

2

3

，0)，結合點C（0，

2 3

3

），利用待定系數(shù)法求得直線CD的函數(shù)解析式為y=

3

x+

2 3

3

．
（3）先求出四邊形ABCD的周長6+

2 3

3

．設AE=t，△AEF的面積為S，根據題意用含t的代數(shù)式表示S，即可得到關于S，t的二次函數(shù)，S=

3

4

t（3+

3

3

-t），結合自變量t的取值范圍

1+ 3

3

≤t≤2，可求得△AEF的最大面積為

7 3

12

+

3

8

．

解答：解：（1）∵A（2，0），∴OA=2．
作BG⊥OA于G，∵△OAB為正三角形，∴OG=1，BG=

3

．∴B（1，

3

）．
連AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，∴OC=OAtan30°=

2 3

3

．
∴C（0，

2 3

3

）．

（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圓的直徑，
又∵CD是圓的切線，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD=OCtan30°=

2

3

．
∴D(-

2

3

，0)．
設直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b= 2 3 3 0=- 2 3 k+b

，解得

k= 3 b= 2 3 3

．
∴直線CD的函數(shù)解析式為y=

3

x+

2 3

3

．

（3）∵AB=OA=2，OD=

2

3

，CD=2OD=

4

3

，BC=OC=

2 3

3

，
∴四邊形ABCD的周長6+

2 3

3

．
設AE=t，△AEF的面積為S，
則AF=3+

3

3

-t，S=

1

2

AF•AEsin60°=

3

4

t(3+

3

3

-t)．
∵S=

3

4

t(3+

3

3

-t)=

3

4

[-(t-

9+ 3

6

)2+

7

3

+

3

2

]．
∴當t=

9+ 3

6

時，Smax=

7 3

12

+

3

8

．
∵點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，
∴

0≤t≤2 0≤3+ 3 3 -t≤2+ 2 3

，解得

1+ 3

3

≤t≤2．
∵t=

9+ 3

6

滿足

1+ 3

3

≤t≤2，
∴△AEF的最大面積為

7 3

12

+

3

8

．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．