Question

如圖，矩形OABC的邊OA、OC都在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)在線段OA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在對角線AC上，且AD=2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）請寫出△APD的面積S關(guān)于t 的函數(shù)關(guān)系式

S=-

6

5

t+

12

5

，此時(shí)t的取值范圍是

0≤t≤2

．
（2）若在動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，有一動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，請問在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，CP⊥PQ？
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出此時(shí)t的值和對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥OA，然后根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)平行，利用對應(yīng)邊成比例列式求出DE的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可得解，再根據(jù)路程、速度與時(shí)間的關(guān)系求t的取值范圍；
（2）過點(diǎn)Q作QF⊥OA于點(diǎn)F，然后判定△COP和△PQF相似，利用∠OAC的正弦求出QF的長度，再表示出PF的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式計(jì)算即可求出t的值；
（3）因?yàn)榈妊�三角形的腰不明確，所以分①AD=AP時(shí)，②AD=PD時(shí)，底邊為AP，③AP=PD時(shí)，底邊為AD，然后分別列式進(jìn)行計(jì)算求解．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥OA，交OA于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B（4，3），四邊形ABCD是矩形，
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，3），
∴AC=

OA2+OC2

=

42+32

=5，
∵DE⊥OA，
∴DE∥OC，
∴

DE

AD

=

OC

AB

，
∵AD=2，
∴

DE

2

=

3

5

，
解得DE=

6

5

，
∵P的速度是每秒2個(gè)單位長度，
∴OP=2t，
∴AP=OA-OP=4-2t，
∴S_△APD=

1

2

AP•DE=

1

2

×（4-2t）×

6

5

=-

6

5

t+

12

5

，
∵AC=4，
∴

1

2

AC=2，
∴t的取值范圍是0≤t≤2；

（2）如圖，過點(diǎn)Q作QF⊥OA于點(diǎn)F，
∵CP⊥PQ，
∴∠CPQ=90°，
∴∠QPA+∠CPO=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠QPA=∠OCP，
∴△COP∽△PQF，
∴

OP

OC

=

QF

PF

，
∵Q的速度是每秒1個(gè)單位長度，
∴AQ=t，
∴QF=AQ•sin∠OAC=t•

3

5

=

3

5

t，
AF=AQ•cos∠OAC=t•

4

5

=

4

5

t，
∴PF=OA-OP-AF=4-2t-

4

5

t=4-

14

5

t，
故

2t

3

=

3 5 t

4- 14 5 t

，
解得t=

31

28

，
當(dāng)t=

31

28

秒時(shí)，CP⊥PQ；


（3）存在三種情況，使△PDA為等腰三角形．
①AD=AP時(shí)，∵AD=2，AD=AP，
∴AP=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴

OP

2

=

2

2

=1（秒），
∴當(dāng)t=1秒時(shí)，△PDA是等腰三角形；
②AD=PD時(shí)，底邊為AP，
∵AD=PD，DE⊥OA，
∴AE=PE，
∵DE∥OC，
∴

AE

AD

=

OA

AC

，
∴

AE

2

=

4

5

，
解得AE=

8

5

，
∴AP=2AE=

16

5

，
∴OP=OA-AP=4-

16

5

=

4

5

，
∴

1

2

OP=

1

2

×

4

5

=

2

5

，
即當(dāng)t=

2

5

秒時(shí)，△PDA是等腰三角形；
③AP=PD時(shí)，底邊為AD，
過點(diǎn)P作PF⊥AD，
∵AP=PD，
∴AF=DF=

1

2

AD=

1

2

×2=1，
∵EF⊥AD，∠CAO=∠DAE，
∴△APF∽△ACO，
∴

AP

AF

=

AC

BC

，
∴

AP

1

=

5

4

，
解得AP=

5

4

，
∴OP=OA-AP=4-

5

4

=

11

4

，
∴

1

2

OP=

1

2

×

11

4

=

11

8

，
即當(dāng)t=

11

8

秒時(shí)，△PDA是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積以及等腰三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要仔細(xì)分析并細(xì)心進(jìn)行計(jì)算，（3）中要注意分情況進(jìn)行討論．