Question

已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC+BC=8，CD=2，AE是△ABC的外接圓的直徑，
（1）試說明△CBD∽△AEC；
（2）設AC=x，AE=y，求y關于x的函數(shù)關系式；
（3）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理得出∠ACE=∠CDB，∠E=∠B，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性質得出y與x的函數(shù)關系式；
（3）利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．

解答：（1）證明：連接BC，
∵CD是△ABC中AB邊上的高，
∴∠CDB=90°，
∵AE是△ABC的外接圓的直徑，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠CDB，
∵∠E=∠B，
∴△CBD∽△AEC；

（2）解：∵△CBD∽△AEC，
∴

CD

AC

=

BC

AE

，
∵AC=x，AE=y，AC+BC=8，CD=2，
∴BC=8-x，
∴

2

x

=

8-x

y

，
∴y關于x的函數(shù)關系式為：y=-

1

2

x2+4x；

（3）解：∵y=-

1

2

x2+4x=-

1

2

（x-4）²+8，
∴y的最大值為8．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質和二次函數(shù)最值求法，得出△CBD∽△AEC是解題關鍵．