Question

如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O交CA于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：GE是⊙O的切線；
（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切線GE的長．

Answer 1

分析：（1）作出半徑并說明半徑與GE垂直，所以需要再連接OG，只要證明△OEG≌△ODG就可以了；
（2）根據(jù)上一問的結(jié)論，求出AD的長度也可以，而AD的長可以利用勾股定理在Rt△ADC和Rt△BCD中CD為公共邊，列出方程求解．

解答：解：（1）證明：連接OE，OG；（1分）
∵AG=GD，CO=OD，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG∥AC．（2分）
∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．（3分）
∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．
∴∠GOD=∠GOE．（5分）
∵OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG．（6分）
∴∠OEG=∠ODG=90°．
∴GE是⊙O的切線．（7分）

（2）∵AC=8，BC=6，
∴AB=

62+82

=10．（8分）
∴OD⊥GD．
∴GD也是圓O的切線．
∴GD=GE．（9分）
設(shè)BD=x，則AD=10-x，
在Rt△CDA和Rt△CDB中，
由勾股定理得：CD²=8²-（10-x）²，CD²=6²-x²
∴8²-（10-x）²=6²-x²（10分）
解得x=

18

5

，
∴AD=10-

18

5

=

32

5

．
∴GE=GD=

1

2

AD=

16

5

．
即切線GE的長為

16

5

．（12分）

點(diǎn)評：作出半徑構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵；同時(shí)切線的判定和相似三角形的判定也是所要考查的內(nèi)容．