Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，可以證明四邊形ADCE為矩形．（2）由正方形的判定，設(shè)當(dāng)AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得四邊形ADCE為正方形．

試題解析：（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四邊形ADCE為矩形．

（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

理由：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD=∠ACD=45°，

∴DC=AD，

∵四邊形ADCE為矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

考點：矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定