Question

(13分)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點D為AB邊上的一動點(D不與A、B重合)，過D作DE∥BC，交AC于點E．把△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A'處．連結BA'，設AD＝x，△ADE的邊DE上的高為y．

1.(1) 求出y與x的函數關系式；

2.(2) 若以點A'、B、D為頂點的三角形與△ABC 相似，求x的值；

3.(3) 當x取何值時，△A' DB是直角三角形．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：(1) 過A點作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點，則BM＝BC＝3，

∵DE∥BC，∴AN⊥DE，即y＝AN．

在Rt△ABM中，AM＝＝4，    …………………………………………………………2分

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，     ……………………………………………………………………………3分

∴＝，

∴＝，

∴y＝(0＜x＜5)． 

2.(2) ∵△A'DE由△ADE折疊得到，

∴AD＝A'D，AE＝A'E，

∵由(1)可得△ADE是等腰三角形，

∴AD＝A'D，AE＝A'E，

∴四邊形ADA'E是菱形，         ………………………………5分

∴AC∥D A'，

∴∠BDA'＝∠BAC，又∵∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，

∴∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，

∴有且只有當BD＝A'D時，△BDA'∽△BAC，     …………………………………………7分

∴當BD＝A'D，即5－x＝x時，

∴x＝．  

3.(3) 第一種情況：∠BDA'＝90°，

∵∠BDA'＝∠BAC，而∠BAC≠90°，

∴∠BDA'≠90°．          ………………………………………………………………………9分

第二種情況：∠BA'D＝90°，

∵四邊形ADA'E是菱形，∴點A'必在DE垂直平分線上，即直線AM上，

∵AN＝A'N＝ y＝，AM＝4，

∴A'M＝|4－x|，

在Rt△BA'M中， A'B2＝BM2＋A'M2＝32＋(4－x)2，

在Rt△BA'D中，A'B2＝BD2＋A'D2＝(5－x)2－x2，

∴ (5－x)2－x2＝32＋(4－x)2，

解得 x＝，x＝0(舍去)．             ……………………………………………………11分

第三種情況：∠A'BD＝90°，

解法一：∵∠A'BD＝90°，∠AMB＝90°，

∴△BA'M∽△ABM，

即＝，∴BA'＝，        ……………………………12分

在Rt△D BA'中，DB2＋A'B2＝A'D2，

(5－x)2＋＝x2，

解得：x＝．        ……………………………………………13分

解法二：∵AN＝A'N＝ y＝，AM＝4，

∴A'M＝|x－4|，

在Rt△BA'M中， A'B2＝BM2＋A'M2＝32＋(x－4)2，

在Rt△BA'D中，A'B2＝ A'D2－BD2＝x2－(5－x)2，

∴ x2－(5－x)2＝32＋(x－4)2，

解得x＝5(舍去)，x＝．         ………………………………………………………13分

綜上可知當x＝、x＝時， △A'DB是直角三角形

【解析】略