Question

（本題滿分13分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動.已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設(shè)E點移動距離為x（x＞0）.

⑴△EFG的邊長是____（用含有x的代數(shù)式表示），當x＝2時，點G的位置在_______；

⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求

①當0＜x≤2時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當2＜x≤6時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取含何值時，存在最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

 

（1）x，D點

（2）①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y＝x²

②分兩種情況：Ⅰ.當2＜x＜3時，此時 y＝x²－（3x－6）²＝

Ⅱ.當3≤x≤6時，y＝（6－x）²＝

（3）當x＝時，y_max＝

解析:（滿分13分）

解：⑴；………………3分

⑵ ①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y＝x²；………………6分

②分兩種情況：

Ⅰ.當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.

由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，

所以，此時 y＝x²－（3x－6）²＝.………………9分

Ⅱ.當3≤x≤6時，如圖2，

點E在線段BC上，點F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC＝6－x,

∴y＝（6－x）²＝.………………11分

⑶當0＜x≤2時，∵y＝x²在x＞0時，y隨x增大而增大，

∴x＝2時，y_最大＝；

當2＜x＜3時，∵y＝在x＝時，y_最大＝；

當3≤x≤6時，∵y＝在x＜6時，y隨x增大而減小，

∴x＝3時，y_最大＝.………………12分

綜上所述：當x＝時，y_最大＝.………………13分