Question

如圖①，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，分別以AB、BE為一邊在直線AE同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG，連接AG、CE．
（1）試探究線段AG與CE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AG恰平分∠BAC，且BE=1，試求AB的長(zhǎng)；
（3）將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后，如圖②，問(wèn)（1）中結(jié)論是否仍然成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）利用角平分線的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得出MC=MG，進(jìn)而利用勾股定理得出GC的長(zhǎng)，即可得出AB的長(zhǎng)；
（3）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答：解：（1）AG=CE．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
在△ABG和△CBE中，
∵

AB=CB ∠ABG=∠CBG=90° BG=BE

，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；

（2）過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AC于點(diǎn)M，
∵AG恰平分∠BAC，MG⊥AC，GB⊥AB，
∴BG=MG，
∵BE=1，
∴MG=BG=1，
∵AC平分∠DCB，
∴∠BCM=45°，
∴MC=MG=1，
∴GC=

2

，
∴AB的長(zhǎng)為：AB=BC=

2

+1；


（3）AG=CE仍然成立．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，
∵∠ABG=∠ABC-∠CBG，
∠CBE=∠EBG-∠CBG，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
∵

AB=CB ∠ABG=∠CBE BG=BE

，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練利用正方形的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．