Question

如圖甲，在中，為銳角，點為射線上一點，連接，以為一邊且在的右側(cè)作正方形．解答下列問題：

（1）如果，，

①當(dāng)點在線段上時（與點不重合），如圖乙，線段之間的位置關(guān)系為    ，數(shù)量關(guān)系為           ．

②當(dāng)點在線段的延長線時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果，，點在線段上運動．試探究：當(dāng)滿足一個什么條件時，（點重合除外）？畫出圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）.

 

Answer 1

【答案】

（1）①位置關(guān)系：互相垂直；數(shù)量關(guān)系：BD=CF；②成立；（2）∠ACB=45°

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結(jié)合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．

（2）當(dāng)∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

（1）線段之間的位置關(guān)系：互相垂直；數(shù)量關(guān)系：BD=CF；

②∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD與△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°

∴CF⊥BD ；

（2）當(dāng)∠ACB=45°時可得CF⊥BC，理由如下：

過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G

則∵∠ACB=45°

∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS）

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC.

考點：三角形全等的判定和直角三角形的判定

點評：判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．