Question

如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=﹣x²+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；
（2）作垂直x軸的直線(xiàn)x=t，在第一象限交直線(xiàn)AB于M，交這個(gè)拋物線(xiàn)于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2（2）當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4（3）D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）

解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）。
將x=0，y=2代入y=﹣x²+bx+c得c=2；
將x=4，y=0代入y=﹣x²+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=﹣x²+x+2。
（2）如圖1，

設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，則E（t，0），BE=4﹣t。
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）× =2﹣t。
又∵N點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且x_N=t，∴y_N=﹣t²+t+2。
∴。
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4。
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如圖2，

以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形。
（i）當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a₁=6，a₂=﹣2，
從而D為（0，6）或D（0，﹣2）。
（ii）當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D為D₁N與D₂M的交點(diǎn)，
由D₁（0，6），N（2，5）易得D₁N的方程為y=x+6；
由D₂（0，﹣2），M（2，1）D₂M的方程為y=x﹣2。
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）。
綜上所述，所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式。
（2）求得線(xiàn)段MN的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線(xiàn)段MN的最大值。
（3）明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示，不要遺漏．其中D₁、D₂在y軸上，利用線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D₃點(diǎn)在第一象限，是直線(xiàn)D₁N和D₂M的交點(diǎn)，利用直線(xiàn)解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)。