Question

（2013•濱湖區(qū)二模）如圖（1），四邊形ABCD和BEFC都是平行四邊形，A、B、E在一條直線上．已知，AD=EF=6，AB=BE=2，∠E=60°．如圖（2）四邊形ABCD可以沿著直線l左右平移，移動(dòng)后連接A、E、F、D形成四邊形AEFD．
（1）在平移過程中，四邊形AEFD是否可以形成矩形？如果可以，直接寫出矩形的面積；如果不可以，請說明理由；
（2）試探究如何平移，四邊形AEFD為菱形？（借助備用圖，寫出具體過程和結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥EF，AD=EF，推出平行四邊形AEFD，求出高EN長，根據(jù)平行四邊形面積公式求出即可；
（2）若四邊形ABCD沿直線l向右平移形成菱形，過點(diǎn)A做AP⊥直線l，求出∴B′P=

1

2

A B′=1．在Rt△AB′P中，根據(jù)勾股定理求出AP=

3

，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE=AD=6．證△A B′Q≌△EBQ，得出AQ=

1

2

QE=3，BQ=B′Q=

1

2

BB′，在Rt△AQP中，根據(jù)勾股定理求出QP=

6

，求出B′Q=QP-B′P=

6

-1，BB′=2

6

-2即可；②如圖，當(dāng)四邊形ABCD沿直線l向左平移形成菱形時(shí)，過點(diǎn)A做AP⊥直線l，由①知 AP=

3

，證△A B′Q≌△EBQ，求出AQ=

1

2

QE=3，BQ=B′Q=

1

2

BB′．在Rt△AQP中，根據(jù)勾股定理求出QP=

6

，求出B′Q=QP+B′P=

6

+1，BB′=2

6

+2即可．

解答：解：（1）如圖，延長EB′交AD于M，過E作EN⊥AD于N，
∵四邊形ABCD和BEFC都是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，EF∥BC，EF=BC，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AD∥EF，∠B′EF=60°，
∴∠AME=60°，
∵EN⊥AD，
∴∠N=90°，
∴∠NEM=30°，
∵EM=2+2=4，
∴MN=

1

2

EM=2，EN=2

3

，
∴平行四邊形AEFD的面積是6×2

3

=12

3

（cm²）；    

（2）①如圖，若四邊形ABCD沿直線l向右平移形成菱形，過點(diǎn)A做AP⊥直線l，
∵∠AB′P=60°，
∴∠B′AP=30°，
∵AB=2，
∴B′P=

1

2

A B′=1．
在Rt△AB′P中，根據(jù)勾股定理，
得 AP²=AB′²-B′P²，
∴AP=

3

．
∵四邊形AEFD為菱形，
∴AE=AD=6．
∵A B′∥EB，
∴∠EBQ=∠A B′Q．
在△A B′Q和△EBQ中

∠AB′Q=∠EBQ ∠AQB′=∠EQB AB′=EB

，
∴△A B′Q≌△EBQ，
∴AQ=

1

2

QE=3，BQ=B′Q=

1

2

BB′．
在Rt△AQP中，根據(jù)勾股定理，得 QP²=AQ²-AP²，
∴QP=

6

．
∵B′Q=QP-B′P=

6

-1，
∴BB′=2

6

-2，即四邊形ABCD沿直線l向右平移（2

6

-2）cm可以得到菱形AEFD．
②如圖，當(dāng)四邊形ABCD沿直線l向左平移形成菱形時(shí)，過點(diǎn)A做AP⊥直線l，
由①知 AP=

3

．
∵四邊形AEFD為菱形，∴AE=AD=6．
根據(jù)題意有A B′∥EB，∴∠EBQ=∠A B′Q．
在△A B′Q和△EBQ中

∠AB′Q=∠EBQ ∠AQB′=∠EQB AB′=EB

，
∴△A B′Q≌△EBQ，
∴AQ=

1

2

QE=3，BQ=B′Q=

1

2

BB′，
在Rt△AQP中，根據(jù)勾股定理，得 QP²=AQ²-AP²，
∴QP=

6

．
∵B′Q=QP+B′P=

6

+1，
∴BB′=2

6

+2，即四邊形ABCD沿直線l向左平移（2

6

+2）cm可以得到菱形AEFD．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．