Question

△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F，過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點(diǎn)H、G．求證：FH=HG．

Answer 1

分析：首先過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點(diǎn)P、Q．根據(jù)切線的性質(zhì)定理、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)、對(duì)頂角相等，可證得∠APF=∠AFP．進(jìn)而得到PA=AF，同理可證得AQ=AE，因而AP=AQ．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例，問(wèn)題得解．

解答：證明：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點(diǎn)P、Q，
∵△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F，
∴∠BDF=∠BFD，
又∵∠APF=∠BDF，∠AFP=∠BFD，∠PFA=∠BFD，
∴∠APF=∠AFP，
∴AP=AF，
同理AQ=AE，
又∵AF=AE，
∴PA=AQ，
∵△APD∽△HFD，
∴

HF

AP

=

DH

DA

，
同理

HG

AQ

=

DH

DA

，
∴

HF

AP

=

HG

AQ

，
∴HF=HG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、弦切角定理．解決本題的關(guān)鍵是證明PA=AQ，再根據(jù)相似證得最終結(jié)論．