Question

在平面直角坐標(biāo)xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E.

⑴求經(jīng)過點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式；

⑵將∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，邊BE交線段OA于點(diǎn)F，邊BD交y軸于點(diǎn)G，交⑴中的拋

物線于M（不與點(diǎn)B重合），如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么結(jié)論OF=DG能成立嗎？請(qǐng)說明理由.

⑶過⑵中的點(diǎn)F的直線交射線CB于點(diǎn)P，交⑴中的拋物線在第一象限的部分于點(diǎn)Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA。

在△BCD與△BAE中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC=BA ，∠DBC=∠EBA ，

∴△BCD≌△BAE（ASA）�！郃E=CD。

∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點(diǎn)，

∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．

設(shè)過點(diǎn)D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則有：

，解得 。

∴經(jīng)過點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式為：。

（2）結(jié)論OF=DG能成立．理由如下：

由題意，當(dāng)∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。

∵x_M=，∴�！郙（）。

設(shè)直線MB的解析式為y_MB=kx+b，

∵M(jìn)（），B（4，4），

∴，解得。

∴y_MB=x+6。∴G（0，6）。

∴CG=2，DG=4�！郃F=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F(xiàn)（2，0）。

∵OF=2，DG=4，∴結(jié)論OF=DG成立。

（3）如圖，△PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：

①若PF=FE。

∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，

∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上。

∵F（2，0），∴P（2，4）。

此時(shí)直線FP⊥x軸。來]∴x_Q=2。

∴，

∴Q₁（2，）。

②若PF=PE。

如圖所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF為等腰三角形。

∴此時(shí)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)B重合�！郠₂（4，4）。

③若PE=EF。

∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上。

∵E（6，0），∴P（6，4）。

設(shè)直線y_PF的解析式為y_PF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），

∴，解得�！鄖_PF=x﹣2。

∵Q點(diǎn)既在直線PF上，也在拋物線上，

∴，化簡(jiǎn)得5x²﹣14x﹣48=0，

解得x₁= ，x₂=﹣2（不合題意，舍去）�！鄕_Q=2。

∴y_Q=x_Q﹣2=�！郠₃（）。

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁（2，）或Q₂（4，4）或Q₃（）。

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)和△BCD≌△BAE求得E點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式。

（2）求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到線段CG、DG的長(zhǎng)度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，從而求得OF的長(zhǎng)度．比較OF與DG的長(zhǎng)度，它們滿足OF=DG的關(guān)系，所以結(jié)論成立；

（3）分PF=FE、PF=PE和PE=EF三種情況，逐一討論并求解。