Question

【題目】（12分）如圖，已知拋物線與直線AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）兩點．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）設(shè)C是拋物線對稱軸上的一動點，求使∠CBA=90°的點C的坐標；

（3）探究在拋物線上是否存在點P，使得△APB的面積等于3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）C（﹣1，4）；（3）（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．

【解析】

試題（1）把點A，B兩點的坐標分別代入拋物線解析式，求出b和c的值即可；

（2）過點B作CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于點C，過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，求出點C的橫坐標，再求出OE的長，即可得到點C的縱坐標；

（3）假設(shè)在在拋物線上存在點P，使得△APB的面積等于3，連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點D，作PF∥y軸交AB于點F，在Rt△OAB中，易求AB=，設(shè)點P的坐標為（m，），設(shè)點F的坐標為（m，m+3），再分兩種情況討論：①當點P在直線AB上方時，②當點P在直線AB下方時，分別求出符合條件點P的坐標即可．

試題解析：（1）把點A（﹣3，0），B（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式是；

（2）如圖1：過點B作CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于點C，過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，∵，∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，∴CE=1，∵AO=BO=1，∴∠ABO=45°，∴∠CBE=45°，∴BE=CE=1，∴OE=OB+BE=4，∴點C的坐標為（﹣1，4）；

（3）假設(shè)在在拋物線上存在點P，使得△APB的面積等于3，如圖2：連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點D，作PF∥y軸交AB于點F，在Rt△OAB中，易求AB==，∵S△APB=3，∴PD=，∵∠PFD=∠ABO=45°，∴PF=，設(shè)點P的坐標為（m，），∵A（﹣3，0），B（0，3），∴直線AB的解析式為，∴可設(shè)點F的坐標為（m，m+3），

①當點P在直線AB上方時，可得：，解得：m=﹣1或﹣2，∴符合條件的點P坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），

②當點P在直線AB下方時，可得：，解得：m=或，∴符合條件的點P坐標為（，）或（，）；

綜上可知符合條件的點P有4個，坐標分別為：（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．