【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，∠EAB的平分線交⊙O于點C，過點C作AE的垂線，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點P．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若tan∠P=
，AD=6，求線段AE的長．
【答案】（1）PC是⊙O的切線；（2）
【解析】試題分析：（1）結論：PC是⊙O的切線．只要證明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出
，即
，解得r=
，由BE∥PD，AE=ABsin∠ABE=ABsin∠P，由此計算即可．
試題解析：解：（1）結論：PC是⊙O的切線．理由如下：
連接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切線．
（2）連接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=
，∴PD=8，AP=10，設半徑為r．∵OC∥AD，∴
，即
，解得r=
．∵AB是直徑，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=ABsin∠ABE=ABsin∠P=
×
=
．
名校課堂系列答案科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸相交于點C．
（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．
【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 點P的坐標為（
，
）；(3) 
.
【解析】分析：（1）將點A、B代入拋物線y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C點橫坐標為0可得P點橫坐標，將P點橫坐標代入（1）中拋物線解析式，易得P點坐標；
（3）由P點的坐標可得C點坐標，A、B、C的坐標，利用勾股定理可得BC長，利用sin∠OCB=
可得結果．
詳解：（1）將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵點C在y軸上，
所以C點橫坐標x=0，
∵點P是線段BC的中點，
∴點P橫坐標xP=
=
，
∵點P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上，
∴yP=
﹣3=
，
∴點P的坐標為（，）；
（3）∵點P的坐標為（，
），點P是線段BC的中點，
∴點C的縱坐標為2×﹣0=
，
∴點C的坐標為（0，），
∴BC=
=
，
∴sin∠OCB=
=
=
．
點睛：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，利用中點求得點P的坐標是解答此題的關鍵．
【題型】解答題
【結束】
24
【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．
（1）求證：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=
，求DE的長；
（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（ ）
A. 
cm2 B. 
cm2 C. 
cm2 D. 
cm2
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我市某校為了創(chuàng)建書香校園，去年購進一批圖書．經(jīng)了解，科普書的單價比文學書的單價多4元，用12000元購進的科普書與用8000元購進的文學書本數(shù)相等．
（1）文學書和科普書的單價各多少錢？
（2）今年文學書和科普書的單價和去年相比保持不變，該校打算用10000元再購進一批文學書和科普書，問購進文學書550本后至多還能購進多少本科普書？
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AEFG，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. 
B. 
C. 1-
D. 1-
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A與∠AEF互補，以下是證明CD//EF的推理過程及理由，請你在橫線上補充適當條件，完整其推理過程或理由。
證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD(已知）
∴∠ABD=∠CDB=_______________.（____________________）
∴∠ABD+∠CDB=180°
∴AB∥____________（____________________）
又∠A與∠AEF互補（____________________）
∴∠A+∠AEF=___________（____________________）
∴AB//___________（____________________）
∴CD//EF（____________________）
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖,已知拋物線y=
x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),B(9,10),AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點。
(1)求拋物線的解析式；
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E.F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標和四邊形AECP的最大面積；
(3)當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C.P、Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了預防流感，某學校在休息日用藥熏消毒法對教室進行消毒. 已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間t（h）成正比；藥物釋放完畢后，y與t之間的函數(shù)解析式為y=
（a為常數(shù)），如圖所示. 根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）寫出從釋放藥物開始，y與t之間的兩個函數(shù)解析式及相應的自變量取值范圍；
（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25mg以下時，學生方可進入教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時，學生才能進入教室？
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