Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，O為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接AF、CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AC=8，EF=6，求BF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）由條件可先證四邊形為平行四邊形，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可求得設(shè)在和中，分別利用勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求得的長(zhǎng)．

試題解析：∵O為AC中點(diǎn)，EF⊥AC，

∴EF為AC的垂直平分線，

∴EA=EC，FA=FC，

∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA.

∴∠EAC=∠FCA，

∴∠FAC=∠ECA，

∴四邊形AFCE平行四邊形。

又∵EA=EC，

∴平行四邊形AFCE是菱形。

(2)∵四邊形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，

∴OE=3，OA=4，

∴AE=CF=5，

設(shè)BF=x，

在中, 在中,

解得